Дед архитектора, Григорий Кокоринов, был тобольским священником. Продолжая семейную традицию, своего сына Филиппа (будущего отца архитектора), он отдал в Тобольскую духовную архиерейскую школу, однако ни священно- ни церковнослужителем Филипп не стал, а «уволился» от церковной службы и в результате занял место чиновника духовной консистории, был «в комиссии раскольничьих дел управитель» как изложил в прошении о приёме на государственную службу, поданном в 1742 году, его сын Александр и сам Филипп в «сказке», записанной с его слов. Архитектором при сибирских заводах Демидова Филипп Григорьевич не был, как писали некоторые биографы Александра Кокоринова.

С 1740 года учился в Тобольске, затем приехал в Москву вместе с семьёй архитектора И. Я. Бланка, в архитектурную команду которого был направлен указом Сената: «для обучения архитектурной науке». После кончины Бланка в 1745 году Александр продолжил обучение в архитектурной школе Д. В. Ухтомского, откуда был переведён учеником в команду архитектора И. К. Коробова, по инициативе самого мастера: «Оные ученики, уповаю, через время могут себя, будучи при мне, фундаментально в архитектурной науке утвердить». У Коробова Кокоринов учился полтора года, и за это время успел сформировать основу своих творческих взглядов. В это время Александр изучал труды древнеримского учёного и зодчего Витрувия, итальянских архитекторов XVI века Виньолы и Серлио, участвовал в проектировании и строительстве различных сооружений, наблюдал за постройками, и так хорошо себя зарекомендовал, что по просьбе Коробова ему увеличили жалованье до 80 рублей в год при том, что большая часть учеников получала от 12 до 48 рублей в год. В августе 1749 года Кокоринову присвоили звание гезеля («подмастерье»), дававшее право самостоятельно разрабатывать проекты и принимать частные заказы; жалование его составило уже 250 рублей в год. Важно отметить, что Кокоринов – один из немногих русских архитекторов XVIII века не учившийся за границей, полностью воспитанный традициями московской архитектурной школы.

В новой должности Кокоринов занимается реставрацией стен и башен московских укреплений – «городового строения», делает первые шаги в преподавании. Выполняя частные заказы, Александр приобрёл добрую репутацию и известность, так, что даже граф К. Г. Разумовский, гетман запорожского войска и президент Российской академии наук поручил ему благоустроить своё подмосковное имение Петровское. Остатки этой усадьбы ныне — это всё, что сохранилось от деятельности Кокоринова в Москве. В марте 1752 года Александр Кокоринов стал офицером — ему присвоили чин поручика, что давало право на получение личного дворянства и означало бо́льшую независимость, а 30 апреля 1753 года московская губернская канцелярия поручила ему архитектурный надзор за городскими строениями, вынеся соответствующее постановление.